控制系统 - 波特图
波特图或波特图由两个图组成 −
- 幅度图
- 相位图
在这两个图中，x 轴代表角频率（对数刻度）。而 yaxis 表示幅度图中开环传递函数的幅度（线性标度），以及相位图中开环传递函数的相位角（线性标度）。
以 dB 为单位的开环传递函数的幅度为 -
$$M=20:log|G(jomega)H(jomega)|$$
以度为单位的开环传递函数的相位角为 -
$$phi=angle G(jomega)H(jomega)$$
注意 − 对数的底数为 10。
Bode 图基础
下表显示了开环传递函数中存在的项的斜率、幅度和相位角值。绘制 Bode 图时，此数据很有用。
| 术语类型 | G(jω)H(jω) | 斜率(dB/dec) | 幅度 (dB) | 相位角(度) |
|---|---|---|---|---|
常数 |
$K$ |
$0$ |
$20 log K$ |
$0$ |
原点处的零 |
$jomega$ |
$20$ |
$20 log omega$ |
$90$ |
原点处的'n' 个零 |
$(jomega)^n$ |
$20: n$ |
$20: n log omega$ |
$90: n$ |
极点位于原点 |
$ffrac{1}{jomega}$ |
$-20$ |
$-20 log omega$ |
$-90 : 或 : 270$ |
'n' 个极点位于原点 |
$ffrac{1}{(jomega)^n}$ |
$-20: n$ |
$-20 : n log omega$ |
$-90 : n : 或 : 270 : n$ |
简单零 |
$1+jomega r$ |
$20$ |
$0: for: omega < ffrac{1}{r}$ $20: log omega r: 对应于 : omega > ffrac{1}{r}$ |
$0 : 对应于 : omega < ffrac{1}{r}$ $90 : 对应于 : omega > ffrac{1}{r}$ |
简单极点 |
$ffrac{1}{1+jomega r}$ |
$-20$ |
$0: 对于: omega < ffrac{1}{r}$ $-20: log omega r: 对于: omega > ffrac{1}{r}$ |
$0 : 对于 : omega < ffrac{1}{r}$ 对于: omega > ffrac{1}{r}$，$-90: 或 : 270 : |
二阶导数项 |
$omega_n^2left ( 1-ffrac{omega^2}{omega_n^2}+ffrac{2jdeltaomega}{omega_n} ight )$ |
$40$ |
$40:log:omega_n: 表示 :omega < omega_n$ $20:log:(2deltaomega_n^2): 表示 :omega=omega_n$ $40 :log :omega:表示 :omega > omega_n$ |
$0 : 表示 :omega < omega_n$ $90 : 表示 :omega = omega_n$ $180 : 表示 :omega > omega_n$ |
二阶积分项 |
$ffrac{1}{omega_n^2left ( 1-ffrac{omega^2}{omega_n^2}+ffrac{2jdeltaomega}{omega_n} ight )}$ |
$-40$ |
$-40: log: omega_n: for : omega < omega_n$ $-20: log:(2deltaomega_n^2): 对于 : omega=omega_n$ $-40 : log : omega:对于 :omega > omega_n$ |
$-0 : 对于 : omega < omega_n$ $-90 : 对于 : omega = omega_n$ $-180 : 对于 : omega > omega_n$ |
考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = K$。
幅度 $M = 20: log K$ dB
相位角 $phi = 0$ 度
如果 $K = 1$，则幅度为 0 dB。
如果 $K > 1$，则幅度为正。
如果 $K < 1$，则幅度将为负值。
下图显示了相应的 Bode 图。
幅度图是一条水平线，与频率无关。当 K 值为 1 时，0 dB 线本身就是幅度图。对于 K 的正值，水平线将向 0 dB 线上方移动 $20 :log K$ dB。对于 K 的负值，水平线将向 0 dB 线下方移动 $20:log K$ dB。零度线本身是所有 K 正值的相位图。
考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = s$。
幅度 $M = 20 log omega$ dB
相位角 $phi = 90^0$
在 $omega = 0.1$ rad/sec 时，幅度为 -20 dB。
在 $omega = 1$ rad/sec 时，幅度为 0 dB。
在 $omega = 10$ rad/sec 时，幅度为 20 dB。
下图显示了相应的 Bode 图。
幅度图是一条线，斜率为 20 dB/dec。该线从 $omega = 0.1$ rad/sec 开始，幅度为 -20 dB，并继续以相同的斜率延伸。它在 $omega = 1$ rad/sec 处与 0 dB 线相交。在这种情况下，相位图为 900 线。
考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = 1 + s au$。
幅度 $M = 20: log sqrt{1 + omega^2 au^2}$ dB
相位角 $phi = an^{-1}omega au$ 度
对于 $ω < ffrac{1}{ au}$ ，幅度为 0 dB，相位角为 0 度。
对于 $omega > ffrac{1}{ au}$ ，幅度为 $20: log omega au$ dB，相位角为 900。
下图显示了相应的 Bode 图。
幅度图的幅度为 0 dB，最高为 $omega=ffrac{1}{ au}$ rad/sec。从 $omega = ffrac{1}{ au}$ rad/sec 开始，其斜率为 20 dB/dec。在这种情况下，相位图的相位角为 0 度，最高可达 $omega = ffrac{1}{ au}$ rad/sec，从这里开始，相位角为 900。此波特图称为渐近波特图。
由于幅度和相位图用直线表示，因此精确波特图类似于渐近波特图。唯一的区别是精确波特图将具有简单的曲线而不是直线。
同样，您可以为表中给出的开环传递函数的其他项绘制波特图。
